Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸公共點的坐標；
（Ⅱ）若a=b=1，且當-1＜x＜1時，拋物線與x軸有公共點，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x₁=0時，對應的y₁＞0；x₂=1時，對應的y₂＞0，試判斷當0＜x＜1時，拋物線與x軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得拋物線的解析式，求出兩根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0時可直接求得c的值；求出y的相應的值后可得c的取值范圍；
（Ⅲ）拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸公共點的個數就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的實數根的個數，因此，本題的解答就是研究在不同的條件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判別式的符號，依據判別式的符號得出相應的結論．
解答：解：（Ⅰ）當a=b=1，c=-1時，拋物線為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個根為x₁=-1，．
∴該拋物線與x軸公共點的坐標是（-1，0）和（，0）；
（Ⅱ）當a=b=1時，拋物線為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點．
對于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，有c≤．（3分）
①當時，由方程3x²+2x+=0，解得x₁=x₂=-．
此時拋物線為y=3x²+2x+與x軸只有一個公共點（-，0）；（4分）
②當時，x₁=-1時，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1時，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1時，該拋物線與x軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，
應有即，
解得-5＜c≤-1．
綜上，或-5＜c≤-1．（6分）
（Ⅲ）對于二次函數y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時，y₁=c＞0；
x₂=1時，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=-a-c，
∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵關于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個公共點，頂點在x軸下方．（8分）
又該拋物線的對稱軸，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴．
又由已知x₁=0時，y₁＞0；
x₂=1時，y₂＞0，觀察圖象，
可知在0＜x＜1范圍內，該拋物線與x軸有兩個公共點．（10分）
點評：借助圖象，可將抽象的問題直觀化；二次函數與x軸的交點的縱坐標為0；拋物線與x軸交點的個數就是一元二次方程根的個數．