Question

已知拋物線y=ax²+3ax+b交x軸分別于A、B（1，0），交y軸于C（0，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖（1），P為拋物線第三象限的點，若S_△PAC=2S_△PBC，求P點坐標；
（3）如圖（2），D為拋物線的頂點，在拋物線上是否存在點Q，使△ADQ為銳角三角形？若存在，求出Q點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將B、C兩點坐標代入拋物線解析式，可求a、b的值，確定拋物線解析式；
（2）設PC交線段AB于M點，只需要AM=2MB即可，根據A、B兩點坐標求M點坐標，再求直線CM，與拋物線解析式聯立，可求P點坐標；
（3）根據∠ADQ=90°，∠DAQ=90°分別求Q點的橫坐標，得出△ADQ為銳角三角形時，Q點橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）把B（1，0），C（0，2）代入y=ax²+3ax+b中，得

a+3a+b=0 b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2；

（2）設PC交x軸于M，由（1）可知，A（-4，0），
∴AB=5，
若S_△PAC=2S_△PBC，
則AM=2MB=

2

3

AB=

10

3

，M點橫坐標為-（4-AM）=-

2

3

，
∴直線CM：y=3x+2，聯立

y=3x+2 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

得P（-9，-25）；

（3）連接CD，
∵A（-4，0），D（-

3

2

，

25

8

），
∴直線AD：y=

5

4

x+5，
過A作AD的垂線，交拋物線于N點，
則直線AN：y=-

4

5

x-

16

5

，聯立

y=- 4 5 x- 16 5 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

，
解得N（

13

5

，-

132

25

），
同理，過D作AD的垂線，得N′（

1

10

，

1917

100

），
∴

1

10

＜x_Q＜

13

5

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求拋物線解析式，根據直線解析式和拋物線解析式求交點坐標．