Question

（2011•德陽）在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AB的高CD與腰AC的夾角為30°，且CD=2

3

，則底邊BC的長為

4或4

3

．

Answer 1

分析：分類討論：當等腰三角形ABC為銳角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30°，得∠A=60°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到DC=

3

AD，AC=2AD，則易得AC=4，根據等腰三角形的性質由∠A=60°得△ABC為等邊三角形，即可得到BC=4；當等腰三角形ABC為鈍角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30°，得∠DAC=60°，而AB=AC，則∠B=30°，在Rt△BCD中根據含30度的直角三角形三邊的關系即可得到BC的長．

解答：解：當等腰三角形ABC為銳角三角形，如圖1，
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，
∴∠A=60°，
∴DC=

3

AD，AC=2AD，
而CD=2

3

，
∴AD=2，
∴AC=4，
又∵AB=AC，而∠A=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴BC=4；
當等腰三角形ABC為鈍角三角形，如圖2，
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，
∴∠DAC=60°，
∵AC=AB，
∴∠B=30°，
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD-2

3

，
∴BC=2CD=4

3

．
∴BC為4或4

3

．
故答案為：4或4

3

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及分類討論思想的運用．