Question

已知如圖，直線AE：y=3x+12交x軸于E點，交y軸于A點，再把△AOE沿著AE翻折，使得AO落在AD的位置，設直線AD交軸x于點B，P點以1個單位每秒的速度自B點出發沿BO-OA向終點A運動，設點P的運動時間為t．
（1）求直線AD的解析式；
（2）設△PDE的面積為S，求S與t的函數關系式，直接寫出自變量的取值范圍；
（3）連接DP，設直線DP交直線AE于點Q，當直線DP與直線AE的夾角的正切為時，求t的值，并判斷此時以P點為圓心，以為半徑的圓與直線AE的位置關系．

Answer 1

解：（1）由直線y=3x+12可知
當x=0時，y=12，即點A的坐標為（0，12）
當y=0時，x=-4，即點E的坐標為（-4，0）
則OE=4，0A=12
∵△ADE是△AOE沿著AE翻折所得
∴ED=EO=4，AD=AO=12，∠EDA=∠EOA=∠EDB=90°
∵∠ABO=∠EBD，∠EDB=∠AOB
∴△EDB∽△AOB
∴===
∴AB=3BE
∴BD=AB-AD=3BE-12
∵OB=BE+OE=BE+4 =
∴=
∴BE=5  OB=9  BD=3
即點B的坐標為（-9，0）
設直線AD的解析式為y=kx+b，把A（0，12），B（-9，0）代入得：k=，b=12
∴y=x+12

（2）過點D作DF⊥OB于點F，由（1）可知BD=3  ED=4
∴BE=5
在Rt△BDE中DF===
①當點P在點E，B之間時，BP=t，PE=5-t
S=PE•DF=（5-t）×=-t+6（0≤t＜5）

②當點P在點E，O之間時，PE=t-5
S=PE•DF=（t-5）×=t-6（5≤t＜9）

 ③由直線AD的解析式y=x+12可知，當y=時，x=-，即點D的坐標為（-，）
 當點P在線段OA上時，OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t  
S=S_{四邊形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE-×OP•OE-×AP•OF=48- （t-9）×4-×（21-t）×=-
（9≤t≤21）
                                                                                                       

（3）連接OD，教AE于點N
∵點D，O關于直線AE對稱
∴AE⊥OD  DN=ON    AE==4
∴Rt△ANO∽Rt△ONE∽Rt△AOE
∴AN===    EN=AE-AN=4-=  ON=DN=AN=
∵tan∠DQN==
∴NQ=2DN=
①當點P在直線AE左側時，過點P做PG⊥AE于G，則QG=2PG
∵∠GPE=∠OAE
∴tan∠GPE=tan∠OAE=
∴GE=PG
∴QE=QG+GE=2PG+PG=PG
又∵QE=QN-NE=2
∴PG=  GE=
∴PE==
又∵PE=5-t
∴5-t= 即t=
∵PG= 
∴當t=時，以P點為圓心，以為半徑的圓與直線AE相切．

②當點P在直線AE右側時，過點P作PM⊥AE于點M
∵tan∠MQP=tan∠DQN=
∴MQ=2PM
∵tan∠PAM=
∴AM=3PM
∴AQ=2PM+3PM=5PM
又∵AQ=AN-QN=
∴5PM=    即PM= 
∴AD=PM=
又∵AP=21-t
∴21-t=    即t=
∴當t=時，以P點為圓心，以為半徑的圓與直線AE相交．

分析：（1）先根據直線y=3x+12求出點A，E的坐標從而求出OE=4，0A=12，再△ADE是△AOE沿著AE翻折所得，求出ED=4，AD=12，∠EDB=90°，然后根據△EDB∽△AOB求出BE=5，得到點B的坐標為（-9，0），利用待定系數法即可求出直線AD的解析式為y=x+12．
（2）由于P點以1個單位每秒的速度自B點出發沿BO-OA向終點A運動，所以當點P分別在線段BE，OE，OA上時，△PDE的面積的求法不同，所以必須分三種情況討論．
當點P在線段BE，OE時，利用三角形的面積公式來表示所求三角形的面積，所以就需要作△PDE的高，故過點D作DF⊥OB于點F，則有△PDE的面積S=PE•DF，此時PE有兩種表示情況：①PE=5-t，②PE=t-5，所以可求出S的兩種情況，當點P在線段OA上時，△PDE的面積S=S_{四邊形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE-×OP•OE-×AP•OF，此時OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t，代入即可求得S的第三種情況．
（3）根據直線DP與直線AE的夾角的正切為，可知tan∠DQN==，滿足這個條件的點P有兩個，分別在直線AE的左右兩側．利用點D，O關于直線AE對稱，連接OD，可得AE⊥OD，DN=ON，AE=4，從而求出AN=，EN=AE-AN=，ON=，NQ=2DN=，分兩種情況討論：①當點P在直線AE左側時，過點P做PG⊥AE于G，則QG=2PG，根據tan∠GPE=tan∠OAE=求得t=，PG=  從而判斷以P點為圓心，以為半徑的圓與直線AE位置關系為相切．②當點P在直線AE右側時，過點P作PM⊥AE于點M根據tan∠MQP=tan∠DQN=，tan∠PAM=可求出PM=，t=，則可判斷以P點為圓心，以為半徑的圓與直線AE位置關系為相交．
點評：考查了有關動點類的綜合性習題，考慮問題要全面，如本題中的（2）小題有三種情況，（3）小題有兩種情況．在求圖形面積與動點的運動時間之間的函數關系式時，首先考慮面積公式，用面積公式中需要的量用含t的代數式表示，再代入面積公式即可，若不能直接用面積公式就要考慮“割補法”來求取圖形面積，如本題（2）小題中的第三種情況．