Question

已知如圖1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．
（1）證明BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞點A點順時針旋轉，當點B、C在AE同側且BD＜CE，其它條件不變，在圖2上畫出此時的圖，并直接寫出BD與DE、CE的關系，不須證明；
（3）繼續繞點A順時針旋轉，當B、C在AE同側且BD＞CE其它條件不變，在圖3上畫出此時的圖，并寫出BD與DE、CE的關系，請加以證明．

Answer 1

分析：（1）由HL得出Rt△ABD≌Rt△CAE，進而得出BD=AE，AD=CE，再由線段之間的轉化即可得出結論；
（2）依據題意畫出圖形，由題中條件同樣可得Rt△ABD≌Rt△CAE，再由線段之間的關系寫出最終結論即可；
（3）根據題意先作出出行，進而結合圖形進行求解，證法同（1）、（2）．

解答：證明：
（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∵∠ABD=∠CAE，
∠ADB=∠CEA，
AB=AC．
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．

（2）如圖2，
線段BD與DE、CE存在的關系是，BD=DE-CE．

（3）如圖3，
線段BD、DE、CE的關系是BD=DE-CE，
證明方法與（1）相同，
∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在ABD和CAE中，
∵∠ABD=∠CAE，
∠ADB=∠CEA，
AB=AC．
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
AE=DE-AD，
BD=DE-CE．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，能夠掌握其性質并熟練運用．