Question

已知如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

+1，D是BC中點，作半徑是

3

2

的圓經過點A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．

Answer 1

分析：連接EF，DE，根據題意，可得EF為⊙O的直徑，繼而推出△EDC≌△FDA，AF=CE，然后在Rt△AEF中，根據勾股定理，即可求出AF的長度，由∠ADF=∠AEF，即可推出∠ADF的正弦值．

解答：解：連接EF，ED（1分）
在△ABC中
∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD=

1

2

BC=CD，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，（2分）
∴∠ADE+∠EDC=90°，
在⊙O中，
∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直徑，（3分）
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA+∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠FDA，
∴△EDC≌△FDA，
∴AF=CE，（4分）
設AF=x，則CE=x，AE=AC-CE=

2

+1-x，
∵⊙O的半徑是

3

2

，
∴EF=

3

，
在Rt△AEF中，x2+(

2

+1-x)2=(

3

)2，
解得x1=1，x2=

2

，
∠ADF=∠AEF，（5分）
∴當x=1時，sin∠ADF=sin∠AEF=

AF

EF

=

3

3

，
當x=

2

時，sin∠ADF=sin∠AEF=

AF

EF

=

6

3

，
∴∠ADF的正弦值為

3

3

或

6

3

．（7分）

點評：本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理等知識點，解題的關鍵在于求出AF=CE，解Rt△AEF，∠ADF=∠AEF．