Question

已知如圖，等腰△ABC內接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，則⊙O的半徑為

 

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Answer 1

分析：連接OA，OC，AO交BC于點F，根據已知和圓周角定理可證∠O=2∠D=60°，即證△OAC是等邊三角形，可證△ABE≌△ACE，得到∠AEB=∠AEC=90°，由勾股定理和相交弦定理得BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF²-EF²=AB²-AF²-EF²=AB²-AE²=AB²-4=8，即可求AB²=12，半徑等于2

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解答：解：連接OA，OC，AO交BC于點F，則OA=OC，∠B=∠C，
∴AB=AC，
由圓周角定理知，∠O=2∠D=60°，
所以等腰△OAC是等邊三角形，
有AB=AC=OA，
∵∠B=∠C，
∴AE⊥BC
∵AB=AC，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴BF²=AB²-AF²，AF²+EF²=AE²，
由相交弦定理知，BE•CE=AE•ED=8，
而BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF²-EF²=AB²-AF²-EF²=AB²-AE²=AB²-4=8，
∴AB²=12，
∴半徑等于2

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點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，相交弦定理求解．