Question

⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過點C的切線與AB的延長線相交于點D，AE⊥DC交DC于點E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若圓的半徑為3，BD=2，DC=4，求AE和BC．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由切線的性質得到OC與ED垂直，又AE與ED垂直，得到OC與AE平行，由兩直線平行得到一對內錯角相等，由OA=OC，根據“等邊對等角”得到一對角相等，等量代換得證；
（2）由OC與AE平行，得到兩對同位角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形COD與三角形AED相似，根據相似得比例，由OC，OD及AD的長即可求出AE的長；由CD²=DB•AD，且夾角∠D為公共角，根據兩邊對應成比例且夾角相等得到兩三角形相似，且相似比為1：2，即可得到對應邊BC：AC=1：2，即AC=2BC，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到三角形ABC為直角三角形，根據勾股定理列出關于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵ED為圓O的切線，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分線；

（2）解：∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴

OC

AE

=

OD

AD

，即

3

AE

=

5

8

，
解得：AE=

24

5

，
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD²=BD•AD，且夾角∠D為公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比=

4

8

=

1

2

，
∴

BC

AC

=

1

2

，即AC=2BC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即4BC²+BC²=36，解得：BC=

6 5

5

．

點評：此題考查切線的性質，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質．遇到直線與圓相切，連接圓心與切點，是經常連接的輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理解決問題．熟練掌握切線性質是解本題的關鍵．