Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A（0，4）、C（5，0）二次函數y=ax²+bx的圖象經過D，C兩點

（1）求該二次函數的表達式；
（2）F，G分別為對稱軸、x軸上的動點，首尾順次連接D，E，G，F構成四邊形DEGF，求四邊形DEGF周長的最小值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ODP為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用∠AOC的平分線交AB于點D得到AO=AD，則D（4，4），然后利用待定系數法求拋物線解析式；
（2）利用二次函數的性質得到拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，拋物線與AB的另一個交點為D′，點E關于x軸的對稱點為E′，連結D′E′交x軸于G，交直線x=-$\frac{5}{2}$于F，如圖1，根據兩點之間線段最短判斷此時EG+FG+FD的值最小，于是判斷四邊形DEGF周長有最小值，再求出D′和E′點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出D′E′和DE，從而得到四邊形DEGF周長的最小值；
（3）直線x=$\frac{5}{2}$交x軸于點H，交AB于N，如圖2，利用勾股定理計算出OD=4$\sqrt{2}$，分類討論：作DG⊥x軸于點G，連結AG交對稱軸于點P₁，如圖2，易得四邊形AOGD為正方形，則AG垂直平分OD，所以△P₁OD為等腰三角形，易得直線AG的解析式為y=-x+4，求直線y=-x+4與對稱軸的交點得到P₁的坐標；以點D為圓心，DO為半徑畫弧交對稱軸于點P₂，P₃，如圖2，則DP₂=DP₃=4$\sqrt{2}$，利用勾股定理計算出P₂N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，同理可得P₃N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，則可得到P₂和P₃的坐標；以點O為圓心，OD為半徑畫弧交對稱軸于點P₄，P₅，如圖2，則OP₄=OP₅=4$\sqrt{2}$，利用勾股定理計算出P₄H和P₅H的長，于是可得到P₄和P₃的坐標．

解答 解：（1）∵A（0，4）、C（5，0），
∴OA=4，OC=5，
∵∠AOC的平分線交AB于點D，
∴AO=AD，
∴D（4，4），
把D（4，4），C（5，0）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=4}\\{25a+5b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+5x；
（2）∵y=-x²+5x=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，
拋物線與AB的另一個交點為D′，點E關于x軸的對稱點為E′，連結D′E′交x軸于G，交直線x=-$\frac{5}{2}$于F，如圖1，
∵FD=FD′，GE=GE′，
∴EG+FG+FD=GE′+FG+FD′=D′E′，
∴此時EG+FG+FD的值最小，此時四邊形DEGF周長有最小值，
當y=4時，-x²+5x=4，解得x₁=1，x₂=4，則D′（1，4），
∵點E為BC的中點，
∴E（5，2），
∵點E′與點E關于x軸對稱，
∴E′（5，-2），
∴D′E′=$\sqrt{（1-5）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，DE=$\sqrt{（4-5）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴四邊形DEGF周長的最小值=DE+D′E′=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{13}$；
（3）存在．
直線x=$\frac{5}{2}$交x軸于點H，交AB于N，如圖2，
∵D（4，4），
∴OD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
作DG⊥x軸于點G，連結AG交對稱軸于點P₁，如圖2，
易得四邊形AOGD為正方形，
∴AG垂直平分OD，
∴P₁O=P₁D，即△P₁OD為等腰三角形，
∵G（4，0），
易得直線AG的解析式為y=-x+4，
當x=$\frac{5}{2}$時，y=-x+4=$\frac{3}{2}$，則P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
以點D為圓心，DO為半徑畫弧交對稱軸于點P₂，P₃，如圖2，則DP₂=DP₃=4$\sqrt{2}$，
在Rt△DP₂N中，DN=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴P₂N=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，
同理可得P₃N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，
∴P₂（$\frac{5}{2}$，4+$\frac{\sqrt{119}}{2}$），P₃（$\frac{5}{2}$，4-$\frac{\sqrt{119}}{2}$），
以點O為圓心，OD為半徑畫弧交對稱軸于點P₄，P₅，如圖2，則OP₄=OP₅=4$\sqrt{2}$，
在Rt△OP₄H中，P₄H=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{103}}{2}$，
同理可得P₅H=$\frac{\sqrt{103}}{2}$，
∴P₄（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{103}}{2}$），P₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{103}}{2}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，4+$\frac{\sqrt{119}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，4-$\frac{\sqrt{119}}{2}$），（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{103}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{103}}{2}$）．

點評 本同考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和等腰三角形的判定；會運用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形的性質，記住兩點間的距離公式；能運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；運用分類討論的思想方法解決（3）小題．