Question

已知兩圓的半徑分別為5和12．當它們相切時，圓心距為    ；當圓心距等于13時，公共弦長為    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當兩圓內切時，圓心距等于兩半徑相減；當兩圓外切時，圓心距等于兩半徑相加，根據已知的兩半徑即可求出相應的圓心距；當兩圓圓心距等于13時，根據13大于兩半徑之差，小于兩半徑之和，判斷得到兩圓相交，畫出相應的圖形，連接AE，BE，AF，BF，由AE=BE，AF=BF，根據線段垂直平分線的逆定理得到EF垂直平分AB，又AE=5，AF=12，EF=13，利用勾股定理的逆定理得到三角形AEF為直角三角形，利用面積法求出斜邊EF邊上的高AC的長，由AB=2AC即可得出公共弦AB的長．
解答：解：由兩圓的半徑分別為5和12，
當兩圓內切時，圓心距d=12-5=7；
當兩圓外切時，圓心距d=5+12=17，
當圓心距d=13時，∵12-5＜d＜12+5，
∴此時兩圓相交，畫出相應的圖形，如圖所示：

連接AE，AF，BE，BF，
則有AE=5，AF=12，即AE²+AF²=25+144=169，
又∵EF=13，即EF²=169，
∴AE²+AF²=EF²，
∴△AEF為直角三角形，
又AE=BE，AF=BF，
∴EF垂直平分AB，即AC⊥EF，AC=BC=AB，
∵S_△AEF=AE•AF=EF•AC，
∴AC==，
則AB=2AC=．
故答案為：7或17；
點評：此題考查了相切兩圓的性質，以及相交兩圓的性質，兩圓的位置關系可以由d，R，r的大小關系來判斷，當d＜R-r時，兩圓內含；當d=R-r時，兩圓內切；當R-r＜d＜R+r時，兩圓相交；當d=R+r時，兩圓外切；當d＞R+r時，兩圓外離，兩圓相交時，圓心距垂直平分兩圓的公共弦．