Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，且AD=DC，以A為圓心，AB為半徑作⊙A，交CA延長線于點E．
（1）求證：直線DC是⊙A的切線；
（2）若P是

BE

的中點，PH⊥AE于H，若PH=5，求BE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）過A作AF⊥CD，交CD延長線于F，根據平行線性質和等腰三角形性質推出∠DAC=∠DCA=∠ACB，根據角平分線性質得出AF=AB，根據切線判定推出即可；
（2）連接AP，交BE于N，根據垂徑定理求出BE=2BN，證△ABN≌△APH，推出BN=PH=5，即可求出答案．

解答：（1）證明：過A作AF⊥CD，交CD延長線于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB，
∵∠ABC=90°，AF⊥CD，
∴AF=AB，
∴直線DC是⊙A的切線．

（2）解：連接AP，交BE于N，
∵P為弧BE中點，
∴AP⊥BE，BE=2BN=2NE，
∴∠ANB=90°，
∵PH⊥AE，
∴∠PHA=∠BNA=90°，
∵AE=AB，
∴∠E=∠ABN，
∵∠PHA=∠ENA=90°，
∴∠E+∠EAP=90°，∠P+∠EAP=90°，
∴∠E=∠P，
∴∠P=∠ABN，
在△ABN和△APH中，

∠ABN=∠P ∠ANB=∠AHP AB=AP

，
∴△ABN≌△APH（AAS），
∴BN=PH，
∵PH=5，
∴BN=5，
∴BE=2BN=10．

點評：本題考查了垂徑定理，切線的判定，平行線性質，等腰三角形性質，圓周角定理，三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．