Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)MC+MA的值最小時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，證明見解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）．

【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式即可求得答案；

（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；

（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸x對稱，求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對稱性，可得MA＝MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最小．則BC與直線x交點(diǎn)即為M點(diǎn)，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴拋物線的解析式為yx﹣2．

yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （）．

（2）當(dāng)x＝0時y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．

當(dāng)y＝0時，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （），∴拋物線的對稱軸為x．

∵拋物線yx2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸x對稱．

∵A（﹣1，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），當(dāng)x＝0時，yx﹣2＝﹣2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），則BC與直線x交點(diǎn)即為M點(diǎn)，如圖，根據(jù)軸對稱性，可得：MA＝MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最小．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．

當(dāng)x時，y，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）．