Question

【題目】在學習蘇科版九下《銳角三角函數》一章時，小明同學對一個角的倍角的三角函數值是否具有關系產生了濃厚的興趣，進行了一些研究．

（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，發現結論：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；

（2）實踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想構造包含∠A的直角三角形：延長CA至D，使得DA＝AB，連接BD，所以得到∠D＝∠A，即轉化為求∠D的正切值．

請按小明的思路進行余下的求解：

（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．

①tan2A＝　 　；

②求tan3A的值．

Answer 1

【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.

【解析】

（1）直接利用特殊角的三角函數值得結論；

（2）根據題意，利用勾股定理求AC，得結論；

（3）①作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結果；

②作BM交AC于點M，使∠MBE=∠EBA，則∠BMC=3∠A．利用角平分線的性質和勾股定理求出EM的長，求tan∠BMC得結果.

（1）tan60°＝，tan30°＝，

發現結論：tanA≠2tan∠A，

故答案為：，，≠；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，

∴AB＝＝，

如圖1，延長CA至D，使得DA＝AB，

∴AD＝AB＝，

∴∠D＝∠ABD，

∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，

∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；

（3）①如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，

則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，

∴BC＝1，AB＝，

設AE＝x，則EC＝3﹣x，

在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，

解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，

∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，

故答案為：；

②如圖3，作BM交AC于點M，使∠MBE＝∠EBA，

則∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．

設EM＝y，則MC＝EC﹣EM＝﹣y，

∵∠MBE＝∠EBA，

∴，即，

∴BM＝y，

在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2

即（y）2＝（﹣y）2+1，

整理，得117y2+120y﹣125＝0，

解得，y1＝，y2＝﹣（不合題意，舍去）

即EM＝，CM＝﹣＝，

∴tan3A＝tan∠BMC＝，

＝＝．