Question

如圖，PA與⊙O相切于點A，PBC為割線，且過圓心O，PA=6，PB=3．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：AB：AC=1：2；
（3）求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA，則∠1+∠2=90°，再由BC為⊙O的直徑得到∠2+∠3=90°，則∠1=∠3，而∠3=∠C，根據(jù)三角形相似的判定可得到△PAB∽△PCA，根據(jù)相似的性質(zhì)得PA：PC=PB：PA，再把PA=6，PB=3代入可計算出BC，即可得到⊙O的半徑；
（2）由△PAB∽△PCA得到AB：AC=PB：PA，然后把PB=3，PA=6代入即可得到AB：AC=1：2；
（3）由AB：AC=1：2，可設(shè)AB=x，則AC=2x，在Rt△ABC中利用勾股定理即可得到x的值．
解答：（1）解：連結(jié)OA，如圖，
∵PA與⊙O相切于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠1+∠2=90°，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OC=OA，
∴∠3=∠C，
∴∠1=∠C，
而∠P為公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴PA：PC=PB：PA，
∵PA=6，PB=3，
∴6：（3+BC）=3：6，解得BC=9，
∴⊙O的半徑為4.5；
（2）證明：∵△PAB∽△PCA，
∴AB：AC=PB：PA，
而PB=3，PA=6，
∴AB：AC=3：6=1：2；
（3）設(shè)AB=x，則AC=2x，
在Rt△ABC中，BC=9，
∵BC²=AB²+AC²，
∴9²=x²+（2x）²，解得x=（x=-舍去），
∴AB的長為．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．