Question

（2011•淮安二模）如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=

1

2

x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作矩形（1，-4），使AD=

5

．
（1）求點A，點B的坐標，并求邊AB的長；
（2）過點D作DH⊥x軸，垂足為H，求證：△ADH∽△BAO；
（3）求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由直線的解析式，可得到點A、B的坐標，根據勾股定理，即可得到AB的長；
（2）由垂直和矩形的性質，可得∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，即∠BAO=∠ADH，又∵∠AOB=∠DHA=90°，即可證得；
（3）由△ADH∽△BAO，可得到

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，代入數值，即可求得DH、AH的長，即可得到．

解答：（1）解：∵直線y=

1

2

x+2，
∴可得A（-4，0），B（0，2），
∴在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

．

（2）證明：∵DH⊥x軸，四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AOB=∠DHA=90°，
∴△ADH∽△BAO．

（3）解：∵△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，
即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

，
∴DH=2，AH=1，
∴D（-5，2）．

點評：本題是一次函數的應用，主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用．