Question

【題目】已知拋物線頂點坐標為（2，﹣4），且與x軸交于原點和點C，對稱軸與x軸交點為M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）A點在拋物線上，且A點的橫坐標為﹣2，在拋物線對稱軸上找一點B，使得AB與CB的差最大，求B點的坐標；

（3）P點在拋物線的對稱軸上，且P點的縱坐標為8．探究：在拋物線上是否存在點Q使得O、M、P、Q四點共圓，若存在求出Q點坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）點B（2，﹣12）；（3）Q（5，5）或（，）或（，）．

【解析】

（1）根據頂點設出頂點坐標，再將原點的坐標代入即可得出答案；

（2）先求出A的坐標，根據三角形邊的性質得出點O，A的直線與拋物線的對稱軸的交點為點B，寫出OA的解析式，即可得出答案；

（3）根據題意求出點P的坐標，根據四點共圓得出點Q在Rt△OMP外接圓上并設出Q的坐標，結合函數解析式以及點Q到OP的中點的距離列出方程組，解方程組，即可得出答案.

解：（1）∵拋物線頂點坐標為（2，﹣4），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣4，

∵拋物線過原點，

∴0＝a（0﹣2）2﹣4，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x，

令y＝0，則x2﹣4x＝0，

∴x＝0或x＝4，

∴C（4，0），

∵A點的橫坐標為﹣2，

∴y＝4﹣4×（﹣2）＝12，

∴A（﹣2，12），

而拋物線的對稱軸為x＝2，

∴點C（4，0）關于拋物線的對稱軸x＝2的對稱點為O（0，0），

則過點O，A的直線與拋物線的對稱軸的交點為點B，理由是三角形三邊關系定理之兩邊之差小于第三邊，

∵A（﹣2，12），

∴直線OA的解析式為y＝﹣6x，

當x＝2時，y＝﹣12，

∴點B（2，﹣12）；

（3）由（2）知，拋物線的對稱軸為直線x＝2，

∴P（2，8），

∵拋物線的對稱軸與x軸交點為M，

∴M（2，0），

∴∠OMP＝90°，

∵點O、M、P、Q四點共圓，則點Q在Rt△OMP外接圓上，

∴點Q到OP的中點的距離等于半徑OP＝，而OP的中點坐標為（1，4），

由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x，設Q坐標為（m，n），則m2﹣4m＝n①，

∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝17②，

∴m2﹣2m+n2﹣8n＝0，

而m2﹣2m+（m2﹣4m）2﹣8（m2﹣4m）＝m2﹣2m+m2（m﹣4）2﹣8m（m﹣4）

＝m[m﹣2+m（m﹣4）2﹣8（m﹣4）]＝m[（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5（m﹣4）2﹣8（m﹣5）+3﹣8]

＝m{（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5[（m﹣5）2+2（m﹣5）+1]﹣8（m﹣5）﹣5}

＝m[（m﹣5）+（m﹣5）（m﹣4）2+5（m﹣5）2+10（m﹣5）﹣8（m﹣5）]

＝m（m﹣5）[1+（m﹣4）2+5（m﹣5）+2]

＝m（m﹣5）（m2﹣3m﹣6）

∴m（m﹣5）（m2﹣3m﹣6）＝0，

∴m＝0（舍）或m＝5或m2﹣3m﹣6＝0，

∴m＝5或m＝，

∴Q（5，5）或（，）或（，）．