Question

20．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD邊上的中點，F是AB邊上一點，點P從點B出發，沿著B→C→D→E，向終點E以每秒a厘米的速度運動，設運動時間為t秒，△PBF的面積記為S，已知點M（1，$\frac{3}{2}$），N（5，6）在S與t的函數圖象上．
（1）求線段BF的長及a的值；
（2）寫出S與t的函數關系式，并補全該函數圖．

Answer 1

分析 （1）根據t=5時S=6求出BF的長，根據t=1時S=$\frac{3}{2}$列式可計算出a的值；
（2）S與t的函數關系式分以下三種情況：
①點P在BC上運動時，即0≤t≤4；
②點P在CD邊上運動，即4＜t≤8；
③點P在線段DE上運動時，即8＜t≤10，分別按照三角形面積公式列出函數表達式．

解答 解：（1）根據題意可知，當點P在CD上時，△PBF的面積記為S=6，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×4=6，解得：BF=3，
當t=1時，S=$\frac{3}{2}$，BP=a，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}×3×a=\frac{3}{2}$，
解得：a=1，
故線段BF的長為3，a的值為1；
（2）當0≤t≤4時，即點P在BC邊上運動，
S=$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{1}{2}$×3×t=$\frac{3}{2}t$；
當4＜t≤8時，即點P在CD邊上運動，
此時面積S=$\frac{1}{2}$×BF×BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
當8＜t≤10時，即點P在線段DE上運動，
S=$\frac{1}{2}$×BF×AP=$\frac{1}{2}$×3×（12-t）=18-$\frac{3}{2}$t；
綜上：當0≤t≤4時，S=$\frac{3}{2}t$；當4＜t≤8時，S=6；當8＜t≤10時，S=18-$\frac{3}{2}$t；
函數圖象如下所示：

點評 本題考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數關系式．