Question

【題目】已知二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的圖象經過坐標原點O，一次函數y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B．

（1）c＝ ，點A的坐標為 ；

（2）若二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c的圖象經過點A，求a的值；

（3）若二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c的圖象與△AOB只有一個公共點，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c=0，點 A 的坐標為（4，0）；（2）a=0.5；（3）a 的取值范圍是 ．

【解析】

（1）根據題意和題目中的函數解析式可以求得c的值和點A的坐標；
（2）根據（1）中點A得坐標和二次函數y=ax2-（2a+1）x+c的圖象經過點A，可以求得a的值；
（3）根據題意可以求得點B的坐標，然后根據二次函數與x軸的兩個交點坐標為（0，0）和（ ，0），二次函數y=ax2-（2a+1）x+c的圖象與△AOB只有一個公共點，可以求得a的取值范圍．

（1）∵二次函數 y=ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的圖象經過坐標原點 O，

∴當 x=0 時，c=0，

將 y=0 代入 y=﹣x+4，得 x=4，即點 A 的坐標為（4，0）；

（2）∵二次函數 y=ax2﹣（2a+1）x+c 的圖象經過點 A，點 A 的坐標為（4，0），

∴0=a×42﹣（2a+1）×4，

解得，a=0.5；

（3）將 x=0 代入 y=﹣x+4，得 y=4，即點 B 的坐標為（0，4），

∵點 A（4，0），點 O 的坐標為（0，0），二次函數 y=ax2﹣（2a+1）x 的圖象與

△AOB 只有一個公共點，

，

解得，- ≤a＜0．

即 a 的取值范圍是，-≤a＜0．