Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BC交CB延長線于E，CF∥AE交AD延長線于點F．

(1)求證：四邊形AECF是矩形；

(2)連接OE，若cos∠BAE＝，AB＝5，求OE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】

(1)根據菱形的性質得到AD∥BC，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

(2)根據三角函數的定義得到AE＝4，BE＝3，根據勾股定理得到AC＝4，再根據直角三角形斜邊中線的性質即可得到結論．

(1)∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴四邊形AECF是矩形；

(2)在Rt△ABE中，∠E=90°，∵cos∠BAE＝=，AB＝5，

∴AE＝4，

∴BE＝=3，

∵AB＝BC＝5，

∴CE＝8，

∴AC＝=4，

∵四邊形ABCD是菱形，AC、BD交于點O，

∴AO＝CO，

∵∠AEC=90°，

∴OE＝AC=2．