Question

已知如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延長AB到E，使BE＝DC．求證AC＝CE．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：∵四邊形ABCD是等腰梯形， 　　∴∠ADC＝∠BCD． 　　又∵DC∥AB， 　　∴∠DCB＝∠CBE． 　　在△ADC與△CBE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，DC＝BE， 　　∴△ADC≌△CBE．∴AC＝CE． 　　證法2：如圖所示，連結DB， 　　∵DC∥BE，DC＝BE， 　　∴四邊形DCEB為平行四邊形．∴DB＝CE． 　　又∵四邊形ABCD為等腰梯形， 　　∴AC＝DB．∴AC＝CE． 　　證法3：如圖所示，作CF⊥AE于F， 　　DM⊥AE于M，在△AMD與△BFC中， 　　∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°， 　　∴△AMD≌△BFC．∴AM＝BF． 　　又∵DC＝BE， 　　∴AM＋MF＝BF＋BE． 　　∴F為AE中點，CF為AE的垂直平分線． 　　∴AC＝EC． 　　證法4：如圖所示，連結BD， 　　∵DC∥AB，DC＝BE， 　　∴四邊形BECD為平行四邊形． 　　∴∠2＝∠3． 　　又四邊形ABCD是等腰梯形， 　　∴AC＝BD． 　　又∵AD＝BC，AB＝AB， 　　∴△ABC≌△BAD． 　　∴∠1＝∠2． 　　∴∠1＝∠3，∴AC＝CE． 　　分析：本題的證法很多．(1)由于AC與CE具有相同端點C，并且構成了△ACE，所以只需證CA＝CE即可．(2)欲證AC＝CE，選擇一個中間量DB，證AC＝DB，CE＝DB即可．(3)借助線段垂直平分線的性質證AC＝CE．(4)欲證AC＝CE，只需證∠1＝∠3，欲證∠1＝∠3，只需找一中間角∠2，使∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1－∠3即可得證．