Question

以坐標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B.

（1）如圖一，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動.若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒后點P運動到點(2,0)，此時PQ恰好是的切線，連接OQ. 求的大小；

（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，點P停留在點(2,0)處不動，求點Q再經過5秒后直線PQ被截得的弦長

 

Answer 1

 

（1）60°

（2）

解析:（1）解：如圖一，連結AQ．

由題意可知：OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A為OP的中點.

∵PQ與相切于點Q,

∴為直角三角形.             …………1分 

∴.          …………2分

即ΔOAQ為等邊三角形.

∴∠QOP=60°．                    …………3分

（2）解：由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，那么再過5秒，則Q點落在與y軸負半軸的交點的位置（如圖二）.設直線PQ與的交點為D，過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點.

                                    …………4分

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,

∴QP=.                   …………5分

∵,

∴OC= .                         …………6分

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,

∴QC=.

∴QD=．                         …………7分