Question

以坐標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B．
（1）如圖一，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動．若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒后點P運動到點（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）利用切線性質定理，以及OQ與OP之間的關系，可得出∠QOP的度數
（2）關鍵是求出Q點的運動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．

解答：解：（1）如圖一，連接AQ．
由題意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A為OP的中點．
∵PQ與⊙O相切于點Q，
∴△OQP為直角三角形．
∴AQ=

1

2

OP=1=OQ=OA．
即△OAQ為等邊三角形．
∴∠QOP=60°．

（2）由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，那么再過5秒，則Q點落在⊙O與y軸負半軸的交點處（如圖二）．設直線PQ與⊙O的另外一個交點為D，
過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=

12+22

=

5

．
∵

1

2

OQ•OP=

1

2

QP•OC，
∴OC=

2

5

=

2 5

5

．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=

2 5

5

，
∴QC=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
∴QD=

2 5

5

．

點評：此題主要考查了圓中動點問題，以及切線的性質定理．勾股定理，綜合性較強，題目比較新穎．