Question

36、附加題：如圖，如果A、B、C不在一條直線上，分別以AB，BC為邊在AC同側作等邊△ABD和等邊△BCE，AE交BD于點F，DC交BE于點G，那么AE=DC和BF=BG成立？并請加以說明．

Answer 1

分析：要說明AE=DC和BF=BG是否成立，因為它們在不同的三角形中，所以可證兩個三角形全等，分別說明是否成立．由題意知等邊△ABD和等邊△BCE得：AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，所以可得△ABE≌△DBC可說明AE=DC．而BF=BG是否成立，可在△ABF和△DBG中加以說明，若BF=BG，則可證△ABF≌△DBG，全等三角形的對應角相等，則有∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，這個式子說明A、B、C三點同線，與題意不符，所以二者不相等．

解答：解：AE=DC，但BF≠BG．
理由（1）AE=DC．
∵△ABD和等邊△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形對應邊相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形對應角相等）．

（2）BF≠BG．
理由：若BG=BF，由（1）可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
則△ABF與△DBG有兩邊和一邊的對角對應相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合題意，舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形對應角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一條直線上，這與題意A、B、C不在同一直線上矛盾，
∴BF≠BG．
另法：BF≠BG
上面已證明∠BCD=∠BEA
假如BF=BG（邊），又BC=BE（等邊三角形之邊）
則必須∠EBF=60°（兩邊夾角）
才能使△BCG≌△BEF（SAS）
而現在的∠EBF是任意的．“A，B，C三點不在一條直線上”．
如果“A，B，C三點不在一條直線上”，且∠ABC=120°，
則BF=BG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；證明線段不相等是比較獨特的，要注意掌握．