Question

已知矩形的一條對角線長是8cm，兩條對角線的一個夾角為60°，則矩形的周長為

8

3

+8

cm．

Answer 1

分析：根據矩形性質得出AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，AC=BD=8cm，AO=OC=4cm，OB=OD=4cm，得出等邊三角形AOB，求出AB，根據勾股定理求出BC，即可得出AD和CD，即可求出矩形的周長．

解答：解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，AC=BD=8cm，AO=OC=

1

2

AC=4cm，OB=OD=

1

2

BD=4cm，
∴AO=OB=4cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=4cm=CD，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=

AC2-AB2

=4

3

（cm），
即AD=4

3

cm，
∴矩形ABCD的周長是：AB+BC+CD+AD=4cm+4

3

cm+4cm+4

3

cm=（8

3

+8）cm，
故答案為：8

3

+8．

點評：本題考查了勾股定理、矩形的性質、等邊三角形的性質和判定，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．