Question

已知：矩形ABCD（字母順序如圖）的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=x-1經過這兩個頂點中的一個．
（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標；
（2）以AB為直徑作⊙M，經過A、B兩點的拋物線，y=ax²+bx+c的頂點是P點．
①若點P位于⊙M外側且在矩形ABCD內部，求a的取值范圍；
②過點C作⊙M的切線交AD于F點，當PF∥AB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=x-1的上方？還是下方？還是正好落在此直線上？并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，建立平面直角坐標系，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，
設A（m，0）（m＞0），則有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；
若C點過y=x-1；則2=（m+3）-1，
m=-1與m＞0不合；
∴C點不過y=x-1；
若點D過y=x-1，則2=m-1，m=2，
∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；

（2）①∵⊙M以AB為直徑，
∴M（，0），
由于y=ax²+bx+c過A（2，0）和B（5，0）兩點，
∴，
∴，
∴y=ax²-7ax+10a
（也可得：y=a（x-2）（x-5）=a（x²-7x+10）=ax²-7ax+10a）
∴y=a（x-）²-a；
∴拋物線頂點P（，-a）
∵頂點同時在⊙M內和在矩形ABCD內部，
∴＜-a＜2，
∴-＜a＜-．
②設切線CF與⊙M相切于Q，交AD于F，設AF=n，n＞0；
∵AD、BC、CF均為⊙M切線，
∴CF=n+2，DF=2-n；在Rt△DCF中，
∵DF²+DC²=CF²；
∴3²+（2-n）²=（n+2）²，
∴n=，
∴F（2，）
∴當PF∥AB時，P點縱坐標為；
∴-a=，
∴a=-；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x-5，
拋物線與y軸的交點為Q（0，-5），
又直線y=x-1與y軸交點（0，-1）；
∴Q在直線y=x-1下方．
分析：（1）首先建立平面直角坐標系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，設A（m，0）（m＞0），則有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C點過y=x-1與C點不過y=x-1分析，即可求得矩形的頂點A、B、C、D的坐標；
（2）⊙M以AB為直徑，即可求得M點的坐標，又由y=ax²+bx+c過A（2，0）和B（5，0）兩點，利用待定系數法即可求得二次函數的圖象，然后頂點同時在⊙M內和在矩形ABCD內部，即可求得a的取值范圍；
②首先設切線CF與⊙M相切于Q，交AD于F，設AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均為⊙M切線，求得CF與DF的長；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐標，然后由當PF∥AB時，求得拋物線的解析式與拋物線與y軸的交點Q的坐標，則可得Q在直線y=x-1下方．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，矩形的性質，勾股定理的應用以及點與函數的關系等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．