Question

如圖⊙P的圓心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P切于C，若⊙P的半徑為r，⊙O的半徑為R. ⊙O和⊙P的面積比為9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三點共線

 

（1）求證：；

（2），求AE的長；

（3）連結PD，求sin∠PDA的值.

 

Answer 1

（1）見解析（2）7（3）

解析:（1）證明：連結CP，作⊙O的直徑AF，連結PF，則∠APF＝90°

∵AC切于⊙O于C

∴∠ACP=90°=∠APF

又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA  （1分）

連結FB，則∠AFB=∠BPA，∠BFP=∠BAP

∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP   （2分）

（此處也可用圓內接四邊形的定理求出）    

∴△APF∽△PCB

∴，∵AF=2R，PC=r, ∴,

∴   (4分)

（2）解：∵⊙O和⊙P的面積比為9：4

∴ R : r=3 :2      （5分）

∴

∴，即PC=4    （6分）

在Rt△APC 中    （7分）

連結CE，∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC

∴△AEC∽△ACD

∴，    （8分）

∴

∴          （9分）

∴或

∵線段長不為負數，∴      （10分）

（3）解：sin∠PDA=sin∠PFA=  （12分）

∵，R=

∴AF=12

∴sin∠PDA=           （14分）

本題綜合考查了相似三角形是判定與性質、圓內接四邊形的性質及切線的性質．

解第（1）、（2）問的解決運用了以下知識：切線的性質，圓周角定理的推論，圓的內接四

邊形的性質．由此可以看出在兩圓的位置關系問題中，綜合知識的運用是至關重要的；第

（3）利用三角函數求解