Question

（2012•黃埔區一模）如圖⊙P的圓心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P切于C，若⊙P的半徑為r，⊙O的半徑為R．⊙O和⊙P的面積比為9：4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三點共線．
（1）求證：PA•PB=2R•r；
（2）求AE的長；
（3）連接PD，求sin∠PDA的值．

Answer 1

分析：（1）連接CP，作圓O的直徑AF，連接PF，由AC為圓O的切線，利用切線的性質得到AC垂直于PC，可得出∠ACP為直角，由AF為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出∠APF為直角，得到一對直角相等，再由圓內接四邊形AFPB的外角等于它的內對角得到∠BPC=∠BAF，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形APF與三角形BCP相似，由相似得比例列出比例式，將AF=2R，PC=r代入比例式，可得出PA•PB=2R•r，得證；
（2）由兩圓的面積之比求出半徑之比，再由PA與PB的長及第一問的結論求出r的值，即為PC的長，在直角三角形APC中，由PC與AP的長，利用勾股定理求出AC的長，連接CE，由CD為圓P的直徑，得到直徑所對的圓周角為直角，得到一對直角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ACE與三角形ACD相似，由相似得比例，將AC，DE的長代入得到關于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的長；
（3）利用同弧所對的圓周角相等可得出∠PDA=∠PFA，在直角三角形APF中，由r的值及R與r的關系求出R的長，可得出AF的長，再由AP的長，利用銳角三角函數定義求出sin∠PFA的值，即為sin∠PDA的值．

解答：解：（1）連接CP，作⊙O的直徑AF，連接PF，

則∠APF=90°，
∵AC切于⊙O于C，
∴∠ACP=∠APF=90°，又∠PBC=∠AFP，
∴△APF∽△PCB，
∴

PA

PC

=

AF

PB

，
∵AF=2R，PC=r，
∴

PA

r

=

2R

PB

，
∴PA•PB=2R•r；

（2）∵⊙O和⊙P的面積比為9：4，
∴R：r=3：2，又PA=10，PB=4.8，
∴PA•PB=2R•r=3r²=10×4.8，
∴r=4，即PC=4，
在Rt△APC中，PA=10，PC=4，
根據勾股定理得：AC²=AP²-PC²=84，
連接CE，∵CD為直徑，∴∠AEC=90°，
∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC=90°，
∴△AEC∽△ACD，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，即AC²=AE•AD，
∴AC²=AE•AD=AE•（AE+DE）=AE•（AE+5），
整理得：AE²+5AE-84=0，
解得：AE=-12（舍去）或AE=7，
則AE=7；

（3）∵r=4，R=

3

2

r=6，
∴AF=12，又AP=10，
∴sin∠PDA=sin∠PFA=

AP

AF

=

10

12

=

5

6

．

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．