Question

如圖，是一塊直角三角形鋼板，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．現想利用這塊直角三角形鋼板剪一個半圓形鋼板，且保證半圓的半徑為最大，猜想一下半圓的圓心應在何處？請說明理由．

Answer 1

分析：較長的邊是斜邊．那么半圓的中心應在斜邊上．半徑最大，即半圓最大，那么這個半圓應與其他兩直角邊相切．

解答：解：半圓圓心O應在斜邊AB上且距B點

ac

a+b

處，且

ac

a+b

最大（如圖）．
∵

OB

AB

=

r

AC

，
∴

OB

C

=

r

b

．
∴OB=

c

b

•r．
又∵

OA

AB

=

r

BC

，
∴OA=

c

a

•r，c=OA+OB=

cr

a

+

cr

b

．
∴r=

ab

a+b

．
∴OB=

ab

a+b

．

點評：連接圓心和兩個切點，在直角三角形內構成正方形，是做題的關鍵．