Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點A的直線PC交⊙O于A，C兩點，AD平分∠PAB，射線AD交⊙O于點D，過點D作DE⊥PA于點E．

（1）求證：ED為⊙O的切線；

（2）若AB＝10，ED＝2AE，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）ED為⊙O的切線，見解析；（2）6

【解析】

（1）連接AD，根據角平分線的定義得到∠DAE＝∠DAO，得到∠ODA＝∠DAE，根據平行線的性質得到OD⊥DE，于是得到結論；

（2）過O作OH⊥PC，則四邊形EHOD是矩形，求得OH＝DE，EH＝OD，設AE＝x，則DE＝2x，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：（1）連接AD，∵AD平分∠PAB，

∴∠DAE＝∠DAO，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴ED為⊙O的切線；

（2）過O作OH⊥PC，

則四邊形EHOD是矩形，

∴OH＝DE，EH＝OD，

∵AB＝10，

∴EH＝OD＝5，

∵ED＝2AE，

∴設AE＝x，則DE＝2x，

∴AH＝5﹣x，OH＝2x，

∵OA2＝AH2+OH2，

∴52＝（5﹣x）2+（2x）2，

解得：x＝2，x＝0（不合題意舍去），

∴AE＝2，AH＝3，

∴AC＝6．