Question

甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運往B地，甲出發0.5h后乙開始出發，結果比甲早1h到達B地．甲車離A地的路程s₁（km）與行駛的時間t（h）之間的函數關系，如圖中線段OP所示；乙車離A地的路程s₂（km）與行駛的時間t（h）之間的函數關系，如圖中線段MN所示，a表示A、B兩地之間的距離．請結合圖中的信息解決如下問題：
（1）分別求出線段MN、OP的函數關系式；
（2）求出a的值；
（3）設甲、乙兩車之間的距離為s（km），求s與甲車行駛時間t（h）的函數關系式，并求出s的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定出點M的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（2）先求出甲、乙的速度，然后根據乙的時間等于甲的時間減去多用的時間列出方程，解方程即可得到a的值；
（3）求出乙到達B地的時間，然后分四個階段表示出甲、乙兩車之間的距離，再根據一次函數的增減性求出各階段時的最大值，即可得解．
解答：解：（1）由題意知，M（0.5，0），
設OP的解析式為S₁=k₁t，
則1.5k₁=60，
解得k₁=40，
∴S₁=40t；
設MN的解析式為S₂=k₂t+b，
則，
解得，
所以，S₂=60t-30，
因此，線段OP、MN表示的函數關系式分別為：S₁=40t，S₂=60t-30；

（2）由（1）得甲的速度為40千米/小時，乙的速度為60千米/小時，
根據題意得，=-1-0.5，
解得，a=180；

（3）乙到達B地的時間為：180÷60+0.5=3.5小時，
①當0≤t≤0.5時，s=S₁=40t，最大值S=40×0.5=20km；
②當0.5＜t≤1.5時，s=S₁-S₂=40t-（60t-30）=-20t+30，沒有最大值；
③當1.5＜t≤3.5時，s=S₂-S₁=60t-30-40t=20t-30，最大值S=20×3.5-30=40；
④當3.5＜t≤4.5時，s=180-S₁=180-40t，沒有最大值；
當t=3.5時，s的值最大為：20×3.5-30=40．
點評：本題考查了一次函數的應用，主要利用了待定系數法求函數解析式，行程問題，以及利用一次函數的增減性求最大值，難點在于（3）要分段討論．