Question

如圖①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發，沿B﹣A﹣D﹣A運動，沿B﹣A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點 B出發沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結PQ．

（1）當點P沿A﹣D﹣A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）．

（2）連結AQ，在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數關系式．

（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②．在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．

（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）108﹣8t。

（2）。

（3）當t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分。

（4）當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC。

【解析】

試題分析：（1）分情況討論：當點P沿A﹣D運動時，當點P沿D﹣A運動時分別可以表示出AP的值。

當點P沿A﹣D運動時，AP=8（t﹣1）=8t﹣8；

當點P沿D﹣A運動時，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t。

（2）分類討論：當0＜t＜1時，當1＜t＜時，根據三角形的面積公式分別求出S與t的函數關系式。

當點P與點A重合時，BP=AB，t=1。

當點P與點D重合時，AP=AD，8t﹣8=50，t=。

當0＜t＜1時，如圖，

作過點Q作QE⊥AB于點E，

S_△ABQ=，

即。

∴。

∴S=。

當1＜t≤時，如圖，

S=。

綜上所述， 。

（3）分類討論：當0＜t＜1時，當1＜t＜時，當＜t＜時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可。

點P與點R重合時，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。

當0＜t≤1時，如圖，

∵S_△BPM=S_△BQM，∴PM=QM。

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。

在△BPM和△RQM中，，

∴△BPM≌△RQM（AAS）�！郆P=RQ。

∵RQ=AB，∴BP=AB。

∴13t=13，解得：t=1。

 當1＜t≤時，如圖，

∵BR平分陰影部分面積，∴P與點R重合。

∴t=。

當＜t≤時，如圖，

∵S_△ABR=S_△QBR，∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}。

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。

（4）分類討論：

當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，如圖，

∴∠C′OQ=∠OQC。

∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。

∴∠CQO=∠COQ�！郠C=OC。

∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，

或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，

解得：t=7或t=。

當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖，

同理由菱形的性質可以得出：OD=PD。

∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1），

或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）。

50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）無解；

由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=。

綜上所述，當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC。