Question

關于x的方程，kx²+（k+1）x+

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4

k=0有兩個不等實根．
①求k的取值范圍；
②是否存在實數k，使方程的兩實根的倒數和為0？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①因為方程有兩個不等實根，所以判別式大于0，可以求出k的取值范圍．
②根據根與系數的關系，用k的式子表示兩根之和與兩根之積，然后代入兩根的倒數和為0的等式中，求出k的值．對不在取值范圍內的值要舍去．

解答：解：①△=（k+1）²-4k•

1

4

k，
=k²+2k+1-k²，
=2k+1＞0，
∴k＞-

1

2

，
∵k≠0，
故k＞-

1

2

且k≠0．
②設方程的兩根分別是x₁和x₂，則：
x₁+x₂=-

k+1

k

，x₁•x₂=

1

4

，

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

4(k+1)

k

=0，
∴k+1=0，即k=-1，
∵k＞-

1

2

，
∴k=-1（舍去）．
所以不存在．

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，①題用根的判別式求出k的取值范圍，因為是一元二次方程，二次項系數不為0，所以k≠0．②題根據根與系數的關系，把兩根和與兩根積代入等式求出k的值，對不在取值范圍內的值要舍去．