Question

如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　 　．

 

 

Answer 1

2

 

【解析】

連結FD，根據等邊三角形的性質由△ABC為等邊三角形得到AC=AB=6，∠A=60°，再根據點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，則AD=BD=AF=3，DP=2，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等邊三角形，得到∠FDA=60°，利用三角形中位線的性質得EF∥AB，EF=AB=3，根據平行線性質得∠1+∠3=60°；又由于△PQF為等邊三角形，則∠2+∠3=60°，FP=FQ，所以∠1=∠2，然后根據“SAS”判斷△FDP≌△FEQ，所以DP=QE=2．

【解析】
連結FD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=AB=6，∠A=60°，

∵點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，AB=6，PB=1，

∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF為△ABC的中位線，

∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF為等邊三角形，

∴∠FDA=60°，

∴∠1+∠3=60°，

∵△PQF為等邊三角形，

∴∠2+∠3=60°，FP=FQ，

∴∠1=∠2，

∵在△FDP和△FEQ中，，

∴△FDP≌△FEQ（SAS），

∴DP=QE，

∵DP=2，

∴QE=2．

故答案為2．