Question

【題目】綜合探究：

（1）如圖1，AB是⊙O的直徑，點C、D在上， ．若AB＝13，BC＝12，直接寫出CD的長；

（2）如圖2，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，E是劣弧AD上一點，AE的延長線交CD的延長線于F，過O作OG∥AE交CE于G，求AE：CG的值；

（3）如圖3，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為AB的中點．若點E滿足AE＝AC，CE＝CA，點Q為AE的中點，則＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）；（3）．

【解析】

(1) 連接AC、BD，可得AD＝BD，再利用E、A、C三點共線，勾股定理即可解答.

(2) 作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，證明△COG≌△AOH即可解答.

(3) 分點E在直線AC的左側和右側兩種情況進行討論， 利用勾股定理即可解答.

解：（1）如圖1，連接AC、BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵＝，

∴AD＝BD，

將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三點共線，

∵AB＝13，BC＝12，

∴由勾股定理可求得：AC＝5，

∵BC＝AE，

∴CE＝AE+AC＝17，

∵∠EDA＝∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，

∵CD＝ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∴CD＝；

（2）作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴＝．

（3）如圖3，當點E在直線AC的左側時，連接CQ，PC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

點P是AB的中點，

∴AP＝CP，∠APC＝90°，

又∵CA＝CE，點Q是AE的中點，

∴∠CQA＝90°，

設AC＝a，

∵AE＝AC，

∴AE＝a，

∴AQ＝AE＝a，

由勾股定理可求得：CQ＝a，

∵AQ+CQ＝PQ，

∴PQ＝a+a，

∴PQ＝AC，即＝；

如圖4，當點E在直線AC的右側時，連接CQ、CP，

同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，

設AC＝a，

∴AQ＝AE＝a，

由勾股定理可求得：CQ＝a，

又PQ＝（CQ﹣AQ），

∴PQ＝AC，即＝；

綜上，＝，

故答案為：．