Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC=60°，點D是

BC

的中點．BC，AB邊上的高AE，CF相交于點H．試證明：
（1）∠FAH=∠CAO；
（2）四邊形AHDO是菱形．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由于點D是

BC

的中點，根據圓周角定理知∠BAD=∠CAD，由垂徑定理知，OD⊥BC根據垂直于同一條直線的兩條直線平行知AE∥OD，由兩直線平行，內錯角相等知∠DAE=∠ODA，由等邊對等角知∠DAO=∠ODA，∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，∴∠FAH=∠CAO；
（2）過點O作OM⊥AC于M，由垂徑定理知，AC=2AM，由于CF⊥AB∠BAC=60°∴AC=AF÷cos60°=2AF
∴AF=AM在△AFH與△AMO中有∠FAH=∠CAO  AF=AM∠AFH=∠AMO，∴△AFH≌△AMO，∴AH=OA=OD，∴AH平行且等于OD，∴四邊形AHDO為菱形．

解答：證明：（1）連接AD，
∵點D是

BC

的中點，
∴∠BAD=∠CAD，OD⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴∠DAH=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，
∴∠FAH=∠CAO；

（2）過點O作OM⊥AC于M，
∴AC=2AM，
∵CF⊥AB，∠BAC=60°，
∴AC=2AF，
∴AF=AM，
在△AFH與△AMO中，
∵∠FAH=∠CAO，AF=AM，∠AFH=∠AMO，
∴△AFH≌△AMO，
∴AH=OA，
∵OA=OD，
∴AH平行且等于OD．
∴四邊形AHDO是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
又∵OA=OD，
∴平行四邊形AHDO是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

點評：本題利用了圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定和性質，等邊對等角，全等三角形的判定和性質，菱形的判定求解．