Question

已知，如圖，直線l₁：與y軸交于點A，與直線l₂交于x軸上同一點B，直線l₂交y軸于點C，且點C與點A關于x軸對稱．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若點P是直線l₁上任意一點，求證：點P關于x軸的對稱點P′一定在直線l₂上；
（3）設D（0，-1），平行于y軸的直線x=t分別交直線l₁和l₂于點E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：∵直線l₁：與x、y軸交于點B、A兩點，
∴A（0，3），B（2，0），
∵點C與點A關于x軸對稱，∴C（0，-3）；
設直線l₂的解析式為y=kx+b，
∴，
解得k=，b=-3，
∴直線l₂的解析式為y=x-3；

（2）證明：設P（x，y），點P關于x軸的對稱點P′（x，-y），
把點P′（x，-y）代入直線l₂的解析式，左邊=-y，右邊=x-3；
又∵，
∴-y=x-3，
∴左邊=右邊，
∴點P關于x軸的對稱點P′一定在直線l₂上．

（3）解：假設存在t的值，使四邊形ADEF為平行四邊形，
則E（t，t-3）、F（t，-t+3），
∴（t-3）-（-t+3）=3-（-1），
解得t=，
∵B（2，0），
∴BN=-2==BK，
OK=2-=，
即此時EF=-×+3-（×+3）=4=AD，
∴存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則t的值為或．
分析：（1）先求出直線l₁：與x、y軸交于點B、A的坐標，再由點C與點A關于x軸對稱，求得點C的坐標；
（2）設P（x，y），點P關于x軸的對稱點P′（x，-y），證明點P′（x，-y）的坐標滿足直線l₂的解析式即可；
（3）假設存在t的值，由四邊形ADEF為平行四邊形，根據對邊相等，有兩點之間的距離求出t值．
點評：本題考查了一次函數和幾何問題的綜合應用，本題中根據點的坐標求出點與點的距離是解題的基礎．解答此題的關鍵是根據一次函數的特點，分別求出各點的坐標再計算．