Question

15．已知點E是菱形ABCD邊BC上的中點，∠ABC=30°，P是對角線BD上一點，且PC+PE=$\sqrt{26}$．則菱形ABCD面積的最大值是20+8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，由E、E′關于直線BD對稱，推出PE=PE′，推出PE+PC=PE′+PC，所以當PC+PE′=CE′=$\sqrt{26}$時，菱形ABCD面積的最大，作E$′\$H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=$\frac{1}{2}$a，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△CHE′中，由CE′²=CH²+HE′²，可得26=$\frac{1}{4}$a²+（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²a²，解得a²=$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$，根據菱形ABCD面積的最大值=BC•AM=2a•a=2a²，由此即可解決問題．

解答 解：取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，∵BE=EC，
∴E、E′關于直線BD對稱，
∴PE=PE′，
∴PE+PC=PE′+PC，
∴當PC+PE′=CE′=$\sqrt{26}$時，菱形ABCD面積的最大，
作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=$\frac{1}{2}$a，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△CHE′中，∵CE′²=CH²+HE′²，
∴26=$\frac{1}{4}$a²+（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²a²，
∴a²=$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$，
∴菱形ABCD面積的最大值=BC•AM=2a•a=2a²=2×$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$=20+8$\sqrt{3}$．
故答案為20+8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的性質、勾股定理、軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用對稱添加輔助線，需要用方程的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．