Question

已知△ABC的一邊AC為關于x的一元二次方程x²+mx+5=0的兩個正整數根之一，且另兩邊長為BC=3，AB=5，求cosA．

Answer 1

分析：根據AC為關于x的一元二次方程x²+mx+5=0的兩個正整數根之一，利用根與系數的關于，以及三角形的三邊關系定理即可確定AC的范圍，從而求得AC的長，然后分情況討論，依據余弦函數的定義即可求解．

解答：解：∵AC為x²+mx+5=0的兩個正整數根之一，則兩根的積是5，
∴AC≤5，
∵BC=3，AB=5，
∴5-3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8，
∴2＜AC≤5，
∴AC=3或4或5．
作CD⊥AB于點D，如圖1，
AC=3時，AC=BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×5=

5

2

，cosA=

AD

AC

=

5 2

3

=

5

6

；
當AC=4時，△ABC是直角三角形，∠C=90°，則cosA=

AC

AB

=

4

5

；
當AC=5時，作CD⊥AB于點D，作AE⊥BC于點E，如圖2．
則CE=

1

2

BC=

3

2

，
在直角△ACE中，AE=

AC2-CE2

=

91

2

，
∵2S_ABC=AE•BC=AB•CD，
∴CD=

AE•BC

AB

=

3× 91 2

5

=

3 91

10

，
∴AD=

AC2-CD2

=

1681

10

，
∴cosA=

AC

AB

=

1681 10

5

=

1681

50

．

點評：本題考查了余弦函數的定義，以及三角形的三邊關系，正確求得當AC=5時的三角函數值是關鍵．