Question

已知△ABC的一邊為5，另外兩邊恰是方程x²-6x+m=0的兩個根．
（1）求實數m的取值范圍．
（2）當m取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據韋達定理求得x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；然后由三角形的三邊關系、一元二次方程的根的判別式列出關于m的不等式組，解不等式即可；
（2）過點A作AD⊥BC于點D．在直角三角形ACD中，利用勾股定理求得AD的長度．然后利用三角形的面積公式：面積=

1

2

底×高，解答問題．

解答：解：（1）設另兩邊為x₁，x₂，且x₁＞x₂．
∴由韋達定理，得
x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；
根據三邊關系得：
x₁+x₂=6＞5 ①；
∴x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

36-4m

＜5；
解得，m＞

11

2

；
又∵△=36-4m≥0，
解得，m≤9，
∴m的取值范圍是：

11

2

＜m≤9；

（2）當m取最大值，即m=9時，由原方程得
x²-6x+9=0，即（x-3）²=0，
解得，x₁=x₂=3，
過點A作AD⊥BC于點D．
∴AD=

11

2

∴S_△ABC=

5 11

4

．

點評：本題綜合考查了三角形的三邊關系、根的判別式、根與系數的關注．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．