Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠BAC的度數；
（2）求⊙O的周長；
（3）連接AD，求證：DB=DA+DC．

Answer 1

分析：（1）根據∠BAC與∠BDC是同弧所對的圓周角即可解答；
（2）根據已知條件判斷出△ABC是等邊三角形，連接OB，OC，過O作OE⊥BC于E，根據垂徑定理可求出BE的長，再由特殊角的三角函數值即可求出OB的長，由圓的周長公式即可求解；
（3）連接AD并延長至F，使DE=CD，由圓周角定理及平角的性質可得出△CDE是等邊三角形，再由ASA定理
可得△DBC≌△CAE，由全等三角形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）∵∠BAC與∠BDC是

BC

所對的圓周角，∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°．

（2）∵△ABC中，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2

3

，圓心O是△ABC的內心，
連接OB，OC，過O作OE⊥BC于E，則BE=

1

2

BC=

1

2

×2

3

=

3

，∠OBE=30°，
∴OB=

BE

cos∠OBE

=

3

3 2

=2，
∴⊙O的周長=2π•OB=2π×2=4π．

（3）連接AD并延長至E，使DE=CD，連接CE，
∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∴△CDE是等邊三角形，∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠DAC與∠DBC是同弧所對的圓周角，
∴∠DAC=∠DBC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∴△DBC≌△CAE，
∴BD=AE，即DB=DA+DC．

點評：本題比較復雜，考查的是圓周角定理、等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值、全等三角形的判定定理及性質，根據題意作出輔助線，構造出相應的三角形是解答此題的關鍵．