Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，點E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點P與AD在直線EF的兩側，∠EPF=90°，PE=PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點M、N，設AE=x，MN=y．
（1）求邊AD的長；
（2）如圖，當點P在梯形ABCD內部時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．

Answer 1

解：（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，
∵梯形ABCD中，∠B=90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABHD是矩形，
∵∠C=45°，
∴∠CDH=45°，
∴CH=DH=AB=8，
∴AD=BH=BC-CH=6．

（2）∵DH⊥EF，∠DFE=∠C=∠FDG=45°，
∴FG=DG=AE=x，
∵EG=AD=6，
∴EF=x+6，
∵PE=PF，EF∥BC，
∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，
∵∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN，
∴PQ=EF=，PR=MN=，
∵QR=BE=8-x，
∴，
∴y關于x的函數解析式為y=-3x+10．定義域為1≤x＜．

（3）當點P在梯形ABCD內部時，由MN=2及（2）的結論得2=-3x+10，AE=，
∴（AD+EF）•AE=，
當點P在梯形ABCD外部時，由MN=2及與（2）相同的方法得：，AE=x=4，
∴（AD+EF）•AE=．
分析：（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，從而判定四邊形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的長，利用AD=BH=BC-CH可得出AD的長．
（2）首先確定PM=PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，繼而可得出y關于x的函數解析式，也能得出定義域．
（3）①當點P在梯形ABCD內部時，由MN=2及（2）的結論得2=-3x+10，AE=，可求得梯形的面積，②當點P在梯形ABCD外部時，由MN=2及與（2）相同的方法得：，AE=x=4，可求得梯形的面積．
點評：本題考查梯形及有實際問題列一次函數關系式的知識，屬于綜合性較強的題目，難度較大，對于此類題目要學會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．