Question

某工廠生產的A種產品，它的成本是2元，售價是3元，年銷量為100萬件，為了獲得更好的效益，廠家準備拿出一定的資金做廣告；根據統計，每年投入的廣告費是x（十萬元），產品的年銷量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數，它們的關系如表：

x（十萬元）		1	2
y	1	1.5	1.8

（1）求y與x的函數關系式；
（2）如果把利潤看成銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費x（十萬元的函數關系式）；
（3）如果投入的年廣告費為10萬元～30萬元，問廣告費在什么范圍內，工廠獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可求出y與x的二次函數關系式．
（2）根據題意可知S=（3-2）×100y÷10-x=-x²+5x+10；
（3）根據解析式求最值即可．
解答：解：（1）設y與x的函數關系式為y=ax²+bx+c，
由題意得：，
解得：，
∴y與x的函數關系式為：y=-0.1x²+0.6x+1；

（2）∵利潤=銷售總額減去成本費和廣告費，
∴S=（3-2）×100y÷10-x=-x²+5x+10；

（3）S=-x²+5x+10=-（x-2.5）²+16.25，
當x=2.5時，函數有最大值．所以x＜2.5是函數的遞增區間，
由于1≤x≤3，所以1≤x≤2.5時，S隨x的增大而增大．
∴x=2.5時利潤最大，最大利潤為16.25（十萬元）．
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．要學會用二次函數解決實際問題．