Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O，與斜邊AB交于點D、E為BC邊的中點，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，則DE=；
②當∠B=°時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD．

∵AC是直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDB=90°，

又∵E為BC邊的中點，

∴DE為直角△DCB斜邊的中線，

∴DE=CE= ．

∴∠DCE=∠CDE，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切線．

（2）3；45
【解析】（2）解：①∵∠B=30°，AC=2 ，∠BCA=90°，
∴tan30°= = = ，
解得：BC=6，
則DE= BC=3；
故答案為：3；
②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四邊形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案為：45．
（1）運用垂徑定理、直角三角形的性質證明∠ODE=90°即可解決問題；（2）①直接利用銳角三角函數關系得出BC的長，再利用直角三角形的性質得出DE的長；②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，由等腰三角形的性質，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結論．