Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB＝60°．點P從A點出發，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動，設點P運動的時間為t（s）．

（1）對角線AC的長是 cm；

（2）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；

（3）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

Answer 1

【答案】（1）2$\sqrt{3}$；（2）見解析；（3）當t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；當4﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點

【解析】

（1）連接BD交AC于點O，由菱形的性質可知△AOB為直角三角形且∠OAB=30°，依據特殊銳角三角函數值可求得AO的長，從而得到AC的長；
（2）連接BD交AC于O，構建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質推知△PAQ∽△CAB；然后根據“相似三角形的對應角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結論；
（3）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，構建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數值求得PM=PC=，然后根據PM=PQ=AQ=t列出關于t的方程，通過解方程即可求得t的值；
如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，根據等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質以及（2）中求得t的值來確定此時t的取值范圍；
如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，據此等量關系列出關于t的方程，通過解方程求得t的值．

（1）連接BD交AC于點O．

∵ABCD為菱形，∠DAB＝60°，

∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，AO＝CO．

∴AO＝AB×＝2×＝．

∴AC＝2．

故答案為：2．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，

∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，

又∵∠DAB＝60°（已知），

∴∠BAC＝∠BCA＝30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝AC，

∴OB＝AB＝1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），

∴OA＝（cm），AC＝2OA＝2（cm），

運動ts后，AP＝ t，AQ＝t，

∴= =，

又∵∠PAQ＝∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ＝∠ACB（相似三角形的對應角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，∴PM＝PC＝，由PM＝PQ＝AQ＝t，即＝t

解得t＝4﹣6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ＝PB，

∵∠PQB＝∠PAQ+∠APQ＝60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB＝PQ＝AQ＝t，∴t＝1

∴當4﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．

如圖4，⊙P過點C，此時PC＝PQ，即2﹣t＝t，∴t＝3﹣．

∴當1＜t≤3﹣時，⊙P與邊BC有一個公共點，

當點P運動到點C，即t＝2時P與C重合，Q與B重合，也只有一個交點，此時，⊙P與邊BC有一個公共點，

∴當t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；

當4﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．