Question

（2008•雅安）已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點（0，3a），對稱軸為x=1．
（1）試用含a的代數式表示b、c．
（2）當拋物線與直線y=x-1交于點（2，1）時，求此拋物線的解析式．
（3）求當b（c+6）取得最大值時的拋物線的頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線與y軸的交點可以得到c與a的關系，根據對稱軸可以得到b與a的關系；
（2）間已知點的坐標代入函數關系式并結合上題求得的系數的關系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a²-12a=-6（a+1）²+6，從而確定a的值，確定二次函數的解析式后即可確定其頂點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3a）
∴c=3a
∵對稱軸為=1，
∴x=-

b

2a

=1
∴b=-2a；

（2）∵拋物線與直線y=x-1交于點（2，1），
∴（2，1）在拋物線上，
∴1=a×2²+2（-2a）+3a
∴a=

1

3

∴b=-2a=-

2

3

  c=3a=1
∴拋物線為y=

1

3

x²-

2

3

x+1；

（3）∵b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a²-12a=-6（a+1）²+6
當a=-1時，b（c+6）的最大值為6；
∴拋物線y=-x²+2x-3=-（x-1）²-2
故拋物線的頂點坐標為（1，-2）．

點評：本題考查了二次函數的性質、二次函數的最值及待定系數法確定二次函數的解析式，正確的利用三個系數之間的關系是解決本題的關鍵．