Question

（2008•雅安）已知，如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，且BE=CF．
求證：AE⊥BF．

Answer 1

分析：根據正方形的四條邊都相等可得AB=BC，每一個角都是直角可得∠ABC=∠C=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAE=∠CBF，再根據正方形的四個角都是直角可得∠ABF+∠CBF=90°，然后求出∠BAE+∠ABF=90°，設AE、BF相交于點G，進而得到∠AGB=90°，再根據垂直的定義得證．

解答：證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABC=∠C=90° BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
設AE、BF相交于點G，
則∠AGB=180°-（∠BAE+∠ABF）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到∠BAE=∠CBF是解題的關鍵．