Question

如圖1，直線y=-kx+6k（k＞0）與x軸、y軸分別相交于點A、B，且△AOB的面積是24．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點P從點O出發，以每秒2個單位的速度沿折線OA-AB運動；同時點E從點O出發，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運動，過點E作與x軸平行的直線l，與線段AB相交于點F，當點P與點F重合時，點P、E均停止運動．連接PE、PF，設△PEF的面積為S，點P運動的時間為t秒，求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過P作x軸的垂線，與直線l相交于點M，連接AM，當tan∠MAB=時，求t值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據x=0時，y=6k，y=0時，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S_△AOB=24，求出即可；
（2）根據當點P在OA上運動時，0＜t≤3，以及當點P在AB上運動時，利用三角形相似的性質求出即可；
（3）利用當點P在OA上時，點M在點F左側，以及當點P在AB上時，分別得出t的值即可．
解答：解：（1）令x=0時，y=6k（k＞0）；
令y=0時，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S_△AOB=24，
∴，
 解得，
∴AB的解析式為；

（2）根據題意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
①如圖1，當點P在OA上運動時，0＜t≤3，過P作PH⊥EF，垂足是H，
則PH=OE=t，∴，∴； 
②如圖2，當點P在AB上運動時，過P作PG⊥OA，垂足是G，
直線PG與EF相交于點R，則GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB，
∴△APG∽△ABO，
∴，
∴，∴，
當P與F重合時，有PG=OE，此時 ，解得t=8．PR=GR-PG，
∴，
∴，
當3＜t＜8時，，
綜上所述，求得的解析式是；

（3）①如圖3，當點P在OA上時，點M在點F左側．過點M作MD⊥AB，垂足是D，過點F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，∠MDF=90°，tan∠MFD=tan∠BAO===，
令MD=4k，則DF=3k，
∴．
在△MAD中，，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，，
∴，MF=EF-EM，
∴，
解得，
當點P在OA上時，點M在點F右側．可計算得出；
②如圖4，當點P在AB上時，過點M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，=，
令MD′=3m，則PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′-PD′，
∴AP=2m，，
∴，
解得，
綜上所述，滿足要求的t值是或或．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的性質應用，根據已知得出M以及P點位置不同得出答案是解題關鍵．