Question

如圖1，在平面直角坐標中，直角梯形OABC的頂點A的坐標為（4，0），直線y=-

1

4

x+3經過頂點B，與y軸交于頂點C，AB∥OC．
（1）求頂點B的坐標；
（2）如圖2，直線l經過點C，與直線AB交于點M，點O?為點O關于直線l的對稱點，連接CO?，并延長交直線AB于第一象限的點D，當CD=5時，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P在直線l上運動，點Q在直線OD上運動，以P、Q、B、C為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點B的坐標為（4，y），把x=4代入y=-

1

4

x+3中得y=2，即可求出B點的坐標；
（2）過C點作CN⊥AB于N，求出M（4，1），設l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入并求解，可得解析式；
（3）AD=6，BC為一邊∴D（4，6）∴OD的解析式為y=

3

2

x過P，Q作x軸平行線，設P（x，-

1

4

x+3）∴Q（x-4，4-

1

2

x）代入y=

3

2

x中得x=5∴P₁（5，

1

2

），同理P₂（-2，4），當BC為對角線時，設P（a，-

1

2

a+3）Q（b，

3

2

b）

a+b=4 - 1 2 a+3+ 3 2 b=5

a=2 b=2

，∴p₃（2，2）．

解答：解：（1）∵A（4，0），AB∥OC，設點B的坐標為（4，y）
把x=4代入y=-

1

4

x+3中，得：y=2，
∴B（4，2）；

（2）過C點作CN⊥AB于N，∵AB∥OC，∴∠OCM=∠DMC，
由題意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵y=-

1

4

x+3，當x=0時y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴DN=

52-42

=3，
∴NM=5-3=2，
∴AM=1
∴M（4，1），
設l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入
得：

3=b 1=4k+b

，解得

k=- 1 2 b=3

，
∴l的解析式為：y=-

1

2

x+3，

（3）∵AD=6，BC為一邊，∴D（4，6），
∴OD的解析式為y=

3

2

x，
過P作y軸垂線交直線AD于點U，過點Q作x軸平行線分別與y軸交于點V，與y軸的平行線交x軸于N，
設P（x，-

1

2

x+3），
∵∠OCQ=∠ABP，∠CVQ=∠PUB=90°，且CQ=PB，
∴△CVQ≌△BUP，則PU=QV=x-4，
∴Q（x-4，4-

1

2

x）代入y=

3

2

x中，得：x=5，
∴P₁（5，

1

2

），
備用如圖2，同理P₂（-2，4），
當BC為對角線時，設P（a，-

1

2

a+3）、Q（b，

3

2

b）

a+b=4 - 1 2 a+3+ 3 2 b=5

，
解得：

a=2 b=2

，
∴p₃（2，2）．

點評：本題要注意利用一次函數的特點，列出方程組，求出未知數的值從而求得其解析式．