Question

如圖，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中點，CE=CD，DE和AC相交于點F．
求證：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE⊥AC，已知了AC⊥BC那么關鍵就是證明DE∥BC．那么就要證明四邊形BECD是平行四邊形，已知了CD∥BA，可再證CD=BE來得出平行四邊形，已知了CE=CD，CE=AE=BE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），因此CD=BE，因此四邊形ABCD是平行四邊形，那么就得出了DE∥BE，也就證得DE⊥AC．
（2）要證∠ACD=∠ACE，由于AE=CE），∠A=∠ACE，又由AB∥CD，內錯角相等即可得出∠ACD=∠ACE．
解答：證明：（1）直角三角形ACB中，
∵CE是斜邊AB的中線，
∴CE=AE=BE=CD，
又∵AB∥CD，
∴BCDE為平行四邊形，
∴BC∥DE，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．

（2）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A．
由（1）知EC=EA，
∴∠A=∠ACE．
∴∠ACD=∠ACE．
點評：本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，直角三角形的性質的知識點，根據直角三角形的性質得出四邊形的對邊相等是解題的關鍵．