Question

如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結論中：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對應角相等，得到∠CBD=∠CAE，根據ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得CF=CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③正確．
解答：解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，（①正確）
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，（②正確）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等邊三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，（③正確）
過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵CD=CE，∠CND=∠CMA=90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM=CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC=∠EOC，
∴④正確；
故答案為：①②③④．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質．此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，合理應用數形結合思想．